2^(n-1)

Ideja nav slikta un pirmajā acu uzmetienā tā šķiet, bet nesaskan ar realitāti

1) Horda rinķi atšķeļ segmentu. Par sektoru sauc riņķa fragmentu, ko atšķeļ divi rādiusi. Tas tā.. 2) Liekas, ka varētu būt šādi.. Pirmkārt, ievilktais n-stūris atšķeļ no riņķa n segmentus, kas jāsaskaita kopā ar to, cik daļās n-stūri sadala visas tā diagonāles. To var aprēķināt šādi: a) sākumā ir viens laukums – pats daudzstūris b) no viena stūra novelkot visas diagonāles, iegūstam n-3 papildus laukumus c) velkot no nākamā stūra vēl nenovilktās diagonāles, iegūstam papildus 2+3+…+(n-2) jaunus laukumus d) velkot no nākamā stūra vēl nenovilktās diagonāles, iegūstam papildus 3+4+…+(n-2) jaunus laukumus … x) velkot no pēdējā brīvā stūra pēdējo nenovilkto diagonāli, iegūstam n-2 jaunus laukumus. Tātad, šo visu sasummējot, iegūstam formulu daudzstūra laukumu skaitam, ja novilktas visas diagonāles: Sk = 1 + (n-3) + S(i=2..(n-2))S(j=i..(n-2))j Un ja pie šīs summas vēl pieskaitām sākotnēji atšķeltos n fragmentus, tad iegūstam uzdevumā prasīto rezultātu. Tātad, piemēram, ja n=5, tad Sum = Sk + 5 = (1+2+5+3) + 5 = 16, bet, ja n=6, tad Sum = (1+3+9+7+4) + 6 = 30 P.S. Ar S burtu es šeit apzīmēju summu, ko matemātikā apzīmē ar grieķu burtu `sigma`. Tas ir, ar S(i=a..b)i es saprotu summu visiem veselajiem skaitļiem no a līdz b.

OreMan: un kāpēc manam sešstūrim ir 31 segmenti?

nevaru saprast, man 5 sanāk 16 un 6 31. ja ar 6 sanāktu 32, tad tās būtu parastas divnieka pakāpes..

Paldies Ore Man par terminloģijas uzlabojumu. Pats kaut kā vakar vakarā ieciklējos uz sektoriem. Polinoms, kas apraksta riņķa sadalīšanos segmentos atkarībā no punktu skaita uz riņķa līnijas, ir ceturtās pakāpes.

Hmm, īstenībā jautājums nav viennozīmīgi atbildams – atbilde ir atkarīga no ievilktā daudzstūra regularitātes. Var gadīties arī tā, ka vairāk par divām diagonālēm krustojas vienā punktā (piemēram, regulāram sešstūrim), līdz ar ko apgabalu skaits uzreiz samazinās.. Tātad jautājums vairs var būt tikai par maksimālo (principā arī par minimālo) iespējamo apgabalu skaitu, kāds varētu eksistēt pie kaut kāda punktu izvietojuma. Dīvaini, ka pēc manas formulas sanāk, ka eksistē tieši viens punkts, kurā krustojas 3 diagonāles.. Tur kaut kas nav kārtībā..

Tad nu nāk vakars un došu arī pareizo atbildi. OreMan pareizi piezīmēja, ka regulārs sešstūris dod tikai 30 segmentus, bet vairāk par 31 izspiest nav iespējams. Domāju ka konstruējot astoņstūri minimums no maksimuma atšķirtos vēl vairāk. Bet kopējā formula, kas ļauj noteikt maksimāli iespējamo segmentu skaitu ir sekojoša – 1/24(n^4-6n^3+23n^2-18n+24).

Šo uzdevumiņu atradu grāmatā “Symmetry: A Journey into the Patterns of Nature” Marcus Du Sautoy. Un nolēmu padalīties ar to arī ar citiem.

Būtu interesanti arī uzzināt, kā šī formula izvesta.. Vai arī kādam vienkārši nākusi apskaidrība (piemēram, sēžot zem ābeles, uz galvas uzkritis riņķis ar tajā ievilktu n-stūri) un viņš bez domāšanas uzlicis uz papīra šādu formulu?

Grāmatas autors apgalvo, ka šī formula izvesta ar matemātiskās analīzes palīdzību, kas protams ir pašsaprotami. Bet par tās vēsturi man internetā neko neizdevās atrast. Bet no grāmatas sapratu, ka lielākoties matemātiķi tā arī kaut ko atklāj, viņiem pēkšņi uznāk atklāsme