Navigate / search

The Simpsons and Their Mathematical Secrets by Simon Singh

The Simpsons and Their Mathematical Secrets

Šo grāmatu biju gatavojies nopirkt jau sen. Par viņu internetā un podkāstos esmu dzirdējis labas atsauksmes. Arī pats autors sevi manās acīs ir pierādījis kā cilvēks, kas prot saistoši rakstīt. Beigu beigās nesen grāmatu nopirku Berlīnē.

Cilvēks var noskatīties simtiem Simpsonu epizožu un nemaz nepamanīt, ka reizēm tajās parādās viltīgas matemātikas problēmas. Tās var būt vienkāršas aritmētiskas problēmas, bet var būt arī vienas no sarežģītākajām matemātikas teorēmām. Te sastopami gan P=NP problēma, gan Mersenna pirmskaitļi, perfektie skaitļi un narcisistiskie skaitļi, bezgalības un lielas bezgalības. Viens no iemesliem, kāpēc tā, ir fakts, ka daļa no Simpsonu scenāristiem ir matemātiķi, kuri pametuši savus amatus, lai pievērstos rakstniecībai un cilvēku smīdināšanai. Autors ir ticies ar šim ļaudīm, lai uzzinātU viņu stāstus un izskaidrotu, kāpēc matemātika Simpsonos ir tik svarīga.

Sākšu ar pozitīvo, sarakstīts ir patiešām ļoti interesanti. Tā kā esmu Simpsonu cītīgs skatītājs, tad man bija dubultineteresanti uzzināt par multenes veidošanas procesu un cilvēkiem, kas to visu dara.  Tas viss bija ļoti jauki un patīkami.

Bet ir viens liels „bet”, grāmatas apraksts mudina domāt, ka Simpsoni ir viens slēpti matemātisks multeņu seriāls. Patiesībā apskatot proporcionāli multenes ar matemātiku un multenes bez matemātika, te ir nulle komats štrunts. Jā, tas, kas te atrodams, ir filigrāni iemānīts sižetā, un pret to pretenziju nav. Es pirms šīs grāmatas izlasīšanas no reklāmas biju sapratis, ka matemātiskais slānis ir daudz biezāks.

Patiesībā apskatītas tiek kādas desmit multenes. Katras nodaļas struktūra sastāv no multenes sižeta izklāsta, tad matemātiskās problēmas, kas šajā sižetā apslēpta. Tam seko gari un plaši aprakstīts kāda scenārija dzīves stāsts. Reizēm autors vienkārši nolec no tēmas un nodarbojas ar pavisam citu lietu apskatīšanu. Grāmata ir orientēta uz cilvēkiem, kas ar matemātiku ir uz Jūs. Te nav nekādu sarežģītu formula. Visu cieņu autoram, kā izskaidrotājs viņš ir ģeniāls.

Man lasot grāmatu bija sekojošas problēmas, biju gaidījis vairāk matemātikas un mazāk biogrāfijas. Sapratu, ka grāmata ir pārreklamēta, un tas, ko tu sagaidi, nav atrodams šajā grāmatā. Ja visu to noliek pie malas, tad grāmata ierindojama kategorijā vispārīgi par matemātiku, matemātiskajiem jokiem un vēsturi.

Grāmatai lieku 7 no 10 ballēm. Ja gribas ko nopietnu, tad nav jēgas lasīt, bet ja interesē Simpsonu veidotāju dzīvesstāsti un matemātiskie sasniegumi nedaudz atšķaidīti ar matemātiku, tad droši lasāms darbs.

The Pinball Effect: How Renaissance Water Gardens Made The Carburetor Possible – and Other Journeys Through Knowledge by James Burke

The Pinball Effect by James Burke

Šo grāmatu nopirku ļoti sen atpakaļ, kādus septiņus gadus viņa man novāļājās pa grāmatu plauktiem, bet izlasīt man tā ar nebija sanācis. Iemesls, kādēļ es pirku, ir BBC dokumentālo filmu sērija Connections, kurai iznākušas veselas trīs sezonas. Savulaik un arī tagad šīs filmas man ļoti patika. Galvenais iemesls -interesantais veids kā tiek pasniegta vēsture.

Nav jau tā, ka kāds izgudrotu kaut ko pilnīgi jaunu tukšā vietā. Parasti šis izgudrojums ir kaut kādu esošu zināšanu papildinājums vai neliels uzlabojums, kas padara iespējamas jaunas lietas un procesus. Šīs grāmatas mērķis ir parādīt lasītājam, kā pasaulē visas zināšanas un vēsturiskie notikumi ietekmē cits citu un, kas no tā iznāk. Grāmata arī parāda, ka vēsturi neveido tikai viens vai daži cilvēki, vēsturi veidojam mēs visi kopā, un katrs ar savu darbu vai nedarbu atstāj ietekmi uz tās gaitu.

Grāmatu lasīt nebūt nav viegli, tā ir tik sadrumstalota, ka bieži vien pēc pāris lapaspusēm tu jau esi aizmirsis, par ko lasīji pirms tam. Katram atklājumam, atklājējam vai notikumam tiek veltītas pāris rindkopas. Pēc šīm rindkopām autors pārlec uz kādu netieši saistītu notikumu, un pēc brīža tālāk. Tas viss tiek darīts tādēļ, lai ilustrētu, kā visa pasaule un tās vēsture ir savienota tādā vaļējā tīklā, kur viss ietekmē visu. No idejas viedokļa tas, protams, ir atzīstami, bet no lasīšanas viedokļa nav tik viegli.

Kā jau lielākā daļa cilvēku, esmu pieradis pie lineāra sižeta stāstījumā, kur katra sižeta līnija risinās pati par sevi, reizēm apvienojoties ar citu, reizēm ne. Šeit šādu sižeta līniju ir 314, un lasīšana ir patiesi sarežģīta, jo tās visas viena otru ietekmē un galvā var rasties milzīga putra. Un reizēm rodas mazvērtības komplekss par savu atmiņu nespējā atcerēties visu izgudrotāju vārdus. Tomēr grāmata var kalpot par vispārējās informētības rādītāju vismaz tehnoloģiju vēsturē. Priekš sevis atradu pāris tēmas, kur man vajadzētu padziļināt zināšanas. Tā būtu optikas vēsture, to, šķiet, nekur speciāli neesmu lasījis.

Pozitīvais: Bagātīga faktu krātuve veltīta tehnoloģiju vēsturei; laba ilustrācija procesu un atklājumu mijiedarbībai; var viegli atrast lietas, par kurām neko nezini, bet vēlētos uzzināt.

Negatīvais: viss pasniegts tik netradicionāli, ka teksta struktūra var atgrūst lasītāju; vietām šķiet, ka notiku savstarpējā saistība ir pievilkta aiz matiem, lai uzlabotu stāstu.

Kopumā grāmatai lieku 8 no 10 ballēm. Jāņem vērā arī tas, ka par Higgsa bozonu te nekā nebūs, jo sarakstīta viņa ir 1996. gadā. Ja man bērnībā būtu bijusi šāda grāmata, es noteikti būtu bijis stāvā sajūsmā. Bet tad neko nebūtu uzzinājis par Padomju zinātnieku sasniegumiem.

The Signal and the Noise: Why So Many Predictions Fail-but Some Don’t by Nate Silver

The Signal and the Noise

Pēdējā laikā biju tik daudz lasījis daiļliteratūru, sāku jau baidīties, vai pie populārzinātniskās maz pietiks spēka atgriezties atpakaļ. Tā nu šķirstīju kaut kādu žurnālu un ieraudzīju šīs grāmatas recenziju. Izlasīju un sapratu, ka man arī šī grāmata ir jāizlasa un uzreiz. Uzreiz gan neiznāca, jo grāmata ir diezgan pagara.

Kā jau noprotam pēc grāmatas nosaukuma, grāmatas centrālā tēma ir signāla un trokšņa atšķiršana. Tā sakot, pēc kaujas visi ir gudri, jo pēkšņi kļūst redzami visi fakti, kas izraisījuši kādu notikumu. Prognozējot galvenais uzdevums ir atlasīt šos signālus pirms notikuma iestāšanās un paredzēt to. Cilvēki ir guvuši lielus panākumus metroloģisko prognožu sastādīšanā, beisbola spēlētāju analīzē, bet joprojām neko nejēdz pateikt par ekonomiku un zemestrīcēm. Autors lasītājam dod ieskatu, kādēļ tā ir, un vai nākotnē situācija uzlabosies. Kas ir iemesli, kas neļauj izteikt precīzākas prognozes, kādas ir esošo modeļu nepilnības, un vai maz ir iespējas ko uzlabot.

Grāmatā ir daudz nodaļu, kas katra ir veltīta kādam no prognožu veidiem. Patikās par politikas speciālistiem. Tur autors bija secinājis, ka lielākā daļa no vēlēšanu vai tendenču prognozētājiem neuzrāda labākus rezultātus par parastu kapeikas mešanu, bieži pat sliktākus. Jo mazāka atpazīstamība, jo drosmīgākas prognozes speciālists sniegs, lai tikai iekarotu vietu masu mēdijos. Ja cilvēks ir nostabilizējis savu atpazīstamību, viņš centīsies nelēkt ārā no kāda vidējo prognozēto notikumu koridora, un ar to pietiks, lai uzturētu savu reputāciju. Un galu galā nav jau laika apstākļi, par ačgārnu politisko procesu prognozēšanu neviens neko neatcerēsies pēc pāris dienām.

Kā tehniskās analīzes piekritēju mani sāpināja nodaļa par ekonomisko rādītāju un akciju tirgus indeksiem. Te nu tehniskā analīze tika nolikta līdz ar zemi. Jo, ja datu ir pārāk daudz, sakritības var atrast visur. Daļa taisnības jau tajā, protams, ir, nevar bez fundamentāla procesu pārzināšanas ilgtermiņā vinnēt tirgu.

Vesela nodaļa tika veltīta pokera spēles analīzei. Kādreiz grāmatas autors bija aizrāvies un pat pelnījis ar to iztikai. Bija jau interesanti palasīt, bet mani pokers īpaši neaizrauj. Diezgan nopietna bija analīze par teroristi uzbrukumu prognozēšanu. Tur gan nekas nopietnāks par faktu, ka lieli uzbrukumi notiek reti, vēl nav konstatēts.

Kopumā izcila grāmata, spēja noturēt manu uzmanību lielāko daļu no Amsterdama -Honkonga pārlidojuma. Ieteiktu izlasīt visiem, kurus interesē prognozēšana, statistika un tiem, kas ir gatavi pieņemt faktu, ka pasaulē visiem notikumiem piemīt zināma varbūtība un ka katrai prognozei ir iespējamā kļūda. Viss uzrakstīts loģiski un skaidri saprotami.  Grāmatai lieku 10 no 10 ballēm.

In Pursuit of the Traveling Salesman: Mathematics at the Limits of Computation by William Cook

In Pursuit of the Traveling Salesman

Lasīju te pēdējā laikā klasiku, un nopietni populārzinātniski darbi tika pamesti novārtā. Skaidra lieta, ka ilgi tas tā nevarēja vilkties. Nolēmu pievērsties ceļojošā tirgotāja problēmai (TSP). Par šo problēmu biju domājis jau no bērna kājas pat nezinot, ka gudri vīri tam ir veltījuši daudzus gadus. Ideja ir pavisam vienkārša. Piemēram, tu gribi apceļot visus bijušos Latvijas PSR rajonu centrus, tādi ir veseli piecdesmit deviņi. Tā kā laika tev nav daudz, tad tu vēlies viņus apskatīt veicot pēc iespējas mazāku ceļu gabalu. Tātad viss, kas jāizdara, ir jāatrod īsākais ceļš, lai apmeklētu visus rajonu centrus un atgrieztos starta punktā.

Grāmata ir veltīta tieši šādām problēmām, kā atrast īsāko ceļu starp n punktiem. Viens paņēmiens ir pavisam vienkāršs – ņemam un apskatām visus iespējamos ceļus, sasummējam kopgarumu un beigās izvēlamies īsāko. Nav slikts variants, ja šādu punktu ir, teiksim, 5. Tas mums liktu apskatīt nieka 120 ceļus un dienas laikā mums būtu skaidrs, kur kā braukt. Tomēr 59 ir daudz nopietnāks izaicinājums! Te būtu jāapskata veseli 1.38683119 × 10^80 ceļi. Tas ir diezgan ievērojams daudzums, un kļūst skaidrs, ka ar vienkāršu ceļu pārlasi nekāda aršana nebūs.

Šajā grāmatā autors ir apkopojis populārākos algoritmus, kas ļauj TSP problēmu atrisināt efektīvāk, lai gan negarantē optimālo rezultātu. Te ir gan lineārā algebra, gan dažādi viltīgi paņēmieni, kas palīdz problēmu atrisināt to darot pa daļām. Ir pat paņēmieni, kurus gan es vairāk sauktu par izmisuma soļiem, testēt cik labi pērtiķis spēj uzlasīt izmētātu barību, vai testējot cilvēka spējas atrast optimālu risinājumu, savienojot ar zīmuli punktiņus. Cilvēks kopumā ir diezgan spējīgs TSP problēmu risinātājs, parasts cilvēks iekļaujas ceļā, kas vidēji par optimālo maršrutu ir tikai ~25% lielāks.

Galvenais uzdevums joprojām ir, atrast algoritmu, kas spētu atrast optimālo ceļu ātrāk nekā pilnīga pārlase, vai arī pierādīt, ka šāds universāls algoritms neeksistē. Vēl varētu rasties jautājums par šīs problēmas praktisko pielietojumu tautsaimniecībā. Pirmais un būtiskākais ir loģistikas ceļu sakārtošana, optimālais ceļš palīdz atrast lētāko kravus sūtīšanas, piegādes maršrutu. Otra populāra lieta ir iespiedplašu ražošana, tas palīdz samazināt izmaksas līdz pat trīsdesmit procentiem.

Ja nu kādam ir uznākusi luste dot savu ieguldījumu šīs problēmas risinājumā var iesākumā apskatīt šo rīku. Tas savulaik ir devis diezgan lielu ieguldījumu TSP problēmu risināšanā un Latvijas PSR rajonu centru problēmu atkodīs visai viegli. Ja paveiksies, tad, iespējams, pierādīsi, ka N=NP, jeb tautas vārdiem runājot, pierādīsi, ka jebkuru problēmu, kuras atrisinājuma pareizību var ātri pārbaudīt ar datoru, var arī ātri atrisināt ar to. Clay Matemātikas institūts par šī apgalvojuma pierādījumu ir gatavi maksāt veselu miljonu dolārus.

Grāmatas sākums, kur rakstīts par problēmas vēsturi un agrīnajām risināšanas metodēm, lasījās tīri labi. Tomēr, tiekot līdz nodaļām, kur manas matemātikas zināšanas vairs nebija tik labas, lasīšana kļuva grūtāka un varētu pat teikt neinteresantāka. Nē, algoritmi mani vienmēr ir aizrāvuši, tomēr te ar matemātiku jābūt ļoti lielos draugos, pamatus jau it kā saproti, bet par pilnīgu izpratni gan es nevarētu runāt. Ja nepatīk matemātika, tad interesanti būs lasīt kādas četras grāmatas nodaļas. Kopumā lieku 8 no 10 ballēm.

A Brief History of Infinity: The Quest to Think the Unthinkable by Brian Clegg

A Brief History of Infinity

Pusgadu nebiju lasījis neko, kas būtu veltīts matemātikai. Nolēmu labot šo netaisnību un izvilku pirms daudziem gadiem iepirktu grāmatu, kas solījās man paskaidrot bezgalības problēmu.

Parastam cilvēkam ikdienā ar bezgalību nesanāk daudz saskarties. Parasti jau neviens ikdienā nerisina uzdevumus, kuru atrisinājuma pamatā ir atvasināšana vai integrēšana, to viņu vietā dara dators un algoritmi, tomēr abas šīs matemātiskās operācijas ir cieši saistītas ar operēšanu ar bezgalīgi maziem lielumiem, kas tiecas uz nulli, bet nav nulle. Tāpat mēs reizēm iedomājamies, ka varam aptvert bezgalību ar savu protu, jo tas jau tāds uz sāniem apgāzts astoņnieks vien ir. Lai vai kā, ar bezgalībām tā lieta nemaz tik vienkārša nav. Ir bezgalības, kas ir bezgalīgākas par citām. Nesākšu te runāt par racionālām skaitļu rindām, kardinalitātēm un kopu teoriju , to visu var izlasīt arī vikipēdijā.

Autors mums cenšas pavēstīt par bezgalības jēdziena attīstību rietumu vēsturē. Sākot no senajiem grieķiem, kas centās izrēķināt cik daudz smilšu graudiņu varētu ietilpt visumā. Sanāca iespaidīgs skaitlis, kas lika aizdomāties par bezgalību un saskaitāmību. Tad sekoja reliģiskas diskusijas par Dieva bezgalību un vai galīgs prāts spēj aptvert bezgalību. Vēlāk sekoja integrēšanas un atvasināšanas izgudrošana, un cilvēki, redzot to darbojamies, īpaši nenodarbojās ar filozofisko pusi. Un pašās beigās nāca Kantors, kas salika bezgalības pa plauktiņiem, identificējot tās pēc kardinalitātes.

Kopumā diezgan aizraujoša lasāmviela, vismaz man. Matemātikas vēsture, cilvēku dzīvesstāsti un lielas idejas, kas ir devušas savu artavu mūsdienu matemātikas attīstībai. Grāmata man ļāva atcerēties, kā tad ir pareizi jāveic atvasināšana, ja esi aizmirsis atvasināšanas pamatformulu. Joku par objektu, kuram ir galīgs tilpums, bet bezgalīga virsma un Hilberta paradoksu.

Grāmatu ieteiktu izlasīt katram, kuru interesē matemātikas vēsture. Nav ne jausmas vai tādu cilvēku maz var atrast. Grāmatai lieku 9 no 10 ballēm.

Alex’s Adventures in Numberland by Alex Bellos

Numberland

Nu diezgan sen nekas nebija lasīts par matemātiku. Šī grāmata manā plauktā nostāvēja vien pāris mēnešus, un vairākas reizes jau gandrīz nokļuva „ko lasīt?” nākamo saraksta augšgalā.

Šis nu ir kārtējais autors, kas uzskata, ka parastai tautai ir jāzina šis tas vairāk par matemātiku nekā parasta atņemšana un dalīšana. Lieki piebilst, ka viņam nebūt ne vienīgajam ir ienācis prātā, ka matemātika var būt visai interesants temats grāmatas uzrakstīšanaI. Tādēļ iesākumā bija aizdomas, ka grāmata atgremos jau novazātos matemātiskos kuriozus un jokus. Izstāstīs mums n-to reizi par Gausa dzīvi, par to kā Paskāls aizgāja par mūku, un kā Kardano neparko negribēja izpaust kubiskā vienādojuma atrisināšanas noslēpumu. Nenoliegšu, tas viss te tiek pieminēts, tomēr grāmata bija daudz interesantāka nekā biju domājis. Nekad nebiju iedomājies, ka ēģiptiešu teksta uzdevumi mūsdienu cilvēka prātam varētu likties nesaprotami.

Izlasot šo grāmatu, es uzzināju, kā, iespējams, domā to tautu pārstāvji, kas prot skaitīt tikai līdz pieci, kā nāciju spējas matemātikā ir atkarīgas no tā, kā skaitļi tiek izrunāti viņu valodā, kā kādreiz vīri varēja piešmaukt ruleti ar kabatas datoru, kāpēc cilvēks nespēj saprast gadījuma notikumus, kas tad īsti slēpjas zem gausa līknes un kādēļ to izmanto vietā un nevietā, ir intervija ar cilvēku, kas izgudrojis sudoku, kā pareizi salikt Rubika kubu, kā attēlot hiperplakni ar tamborējumiem, kas īsti nav kārtībā ar Eiklīda pamatpostulātiem, kā pareizi locīt origami, ko pasākt ar logaritmiem, kas ir krutāk galvā – reizināt lielus ciparus vai vilkt kubsaknes un pāris citas svarīgas matemātiskas lietas. Neteikšu, ka visas iepriekšminētās lietas man bija jaunumi, šis tas jau bija lasīts citur. Tomēr piekrītu Karaliskajai Biedrībai, šī, iespējams, ir vislabākā grāmata, kas veltīta matemātikai šogad. Lasās ļoti viegli, autoram ir talants neikdienišķas lietas pavēstīt vienkāršā un saistošā valodā.

Grāmatai lieku 10 no 10 ballēm, pat man cilvēkam, kas lasījis desmitiem šāda tipa grāmatas, tā vēl šķita pietiekoši saistoša, lai izlasītu vienā paņēmienā. Un tas, manuprāt, ir ļoti labs rādītājs. Tādēļ silti iesaku šo grāmatu izlasīt visiem, kurus kaut nedaudz interesē matemātika. Autoram ir arī labs blogs ar pāris matemātiskiem uzdevumiem, gandrīz kā mani intelektuālie jautājumi.

Fermat’s Last Theorem by Simon Singh

Fermat's Last Theorem

Sen nebiju lasījis nevienu grāmatu par matemātiku. Šo es nopirku kaut kad pērn Londonā. Nopirku un neizlasīju, kaut kā vienmēr neatlikās laika.

To, kas ir Fermā teorēma, manuprāt, zina katrs pirmklasnieks. Galvenā ideja ir, ka vienādojumam x^n+y^n=z^n pie jebkurām n vērtībām lielākām par divi un pieņemot, ka x, y un z ir veseli skaitļi nav atrisinājuma. Apgalvojums ir tik vienkāršs, ka taisni vai jābrīnās, ka tā pierādījuma atklāšana aizņēma vairākus gadsimtus. Fermā savulaik apgalvoja, ka ir atradis šai teorēmai atrisinājumu, kuru varētu uzrakstīt uz lapas malas, tomēr atstās katram pašam prieku to atklāt. Tā nu nabaga matemātiķi ilgu laiku to nespēja atrast. Līdz beidzot kāds jauneklis vārdā Andrew Wiles ķērās pie lietas un uz nepilnām divsimt lapaspusēm pierādījumu uzblieza. Ar pirmo reizi gan viss uzreiz nesanāca, atradās būtiska kļūdiņa un nācās daļu pārrakstīt pa jaunu.

Grāmata nav tik daudz kā pierādījuma iztirzājums, kas, manuprāt, ir saprotams tikai nopietniem matemātiķiem. Grāmata ir par matemātikas attīstību un vēsturi Fermā teorēmas kontekstā. Sākas viss ar Pitagoru un viņa apsēstību ar veseliem skaitļiem un perfekto pasauli un turpinās līdz Fermā teorēmas pierādīšanai. Grāmata neprasa nekādas nopietnās matemātiskās priekšzināšanas, autors mēģina visu informāciju iebarot lasītājam saprotamā veidā, smago daļu atstājot pielikumiem. Skaidra lieta, šajā grāmatā paša teorēmas pierādījuma nemaz nav.

Lai šo grāmatu lasītu, būtu vēlams, lai lasītājam būtu vismaz kāda interese par matemātiku. Uzrakstīts ir saistoši un interesanti. Tā kā tēma ir diezgan sarežģīta, tad autors ir diezgan pacenties, lai noreducētu visu līdz galvenajam. Kopumā grāmatai lieku 8 no 10 ballēm.

Starp citu, Fermā teorēmas pierādījuma meklēšana vēl nav beigusies. Daļa matemātiķu uzskata, ka ir jābūt kādam vienkāršākam veidam, kas ļautu šo teorēmu pierādīt daudz elegantākā veidā nevis pa apkārtceļiem. Daļa savukārt uzskata, ka Fermā pats ir kļūdījies, domādams, ka viņam ir izdevies atrast teorēmas pierādījumu.

%d bloggers like this: