Navigate / search

Alex Through the Looking Glass: How Life Reflects Numbers and Numbers Reflect Life by Alex Bellos

alex-through-the-looking-glass

Pirms pieciem gadiem pirmoreiz iepazinos ar šī autora daiļradi, viņam ir patiesi labs talants izskaidrot sarežģītas lietas vienkārši. Matemātikas grāmatas vēl nav nolaidušās līdz līmenim, kurā autori mūk no formulām kā velns no krusta. Te vēl mierīgi var sastapties ar kaut ko trigonometrisku vai pat ar nenoteiktu integrāli. Es vairs neatminos, kad šo grāmatu nopirku, tas noteikti nebija dikti sen, bet ne agrāk kā pirms gada.

Ja esi no tiem cilvēkiem, kuri, skolā mācoties, piemēram, trigonometriju vai kombinatoriku, īsti nav sapratuši, kā to visu dzīvē tālāk pielietot, tad šī grāmata ir tieši Tev. Kādos pakšķos šie sinusi un kosinusi ir nolīduši, ka viņus neredz nekur ārpus mācību grāmatām? Skaitļi un matemātiskās formulas mums ir visapkārt un, ja esi praktisks cilvēks, tad pamatskolas kursam pielietojumu atradīsi ātri vien, jo visu tak var izrēķināt. Lai izskaitļotu ēkas vai koka augstumu, nemaz nav jālien viņā augšā ar metramēru. Lai uzbūvētu visstabilāko arku pasaulē, skaitlis e nemaz nav jāzina no galvas, to Tev priekšā var pateikt gravitācija.

Pirmajā nodaļā autors nolēmis pastāstīt par skaitļiem un cilvēku psiholoģiju. Cilvēkiem dikti patīkot pāra skaitļi, taču, ja runa ejot par interesantiem skaitļiem, tad topā paceļas pirmskaitļi. Vispopulārākais skaitlis pasaulē ir 7, bet 110 nevienam neizraisīs nekādu interesi. Un galvenais -ēdienkartē nevajag cenas rindot smuki kolonnā, tas motivē cilvēku izvēlēties vislētāko, nevis pamēģināt ko jaunu.

Otrajā nodaļā var uzzināt visu par Benforda likumu. Tas noder datu analīzē un palīdz nošķirt izdomātus datus no dabiskiem. Dabiskos procesos, grāmatvedību un finanses ieskaitot, skaitļu pirmais cipars pārsvarā ir 1 – 30% un tad pārējie uz leju. Ja gadās kāds datu masīvs, kurā šis likums netiek ievērots, tad ir vērts papētīt sīkāk. Mūsdienās šādi tiek analizēti daudzi finanšu dati, lai saprastu, kurš šmaucas, kurš nē. Tiem, kuri mikroekonomikā visu laiku bija nomodā, noteikti atmiņā nāks Hal Varians, kurš viens no pirmajiem ierosināja šo likumu izmantot analīzēm.

Trešā nodaļa veltīta trijstūriem. Ja tev ciempadome uzticētu uzmērīt dzimto pagastu, ko tu darīsi? Neskriesi jau ar lineālu pa visu pagastu. Izmērīsi viena trijstūra bāzi dikti precīzi, sadalīsi pagastu trijstūros un pēc pārdesmit gadiem paziņosi rezultātu. Īsumā, ja esi skolā aguvis trijstūra pamatformulas, tu vari izmērīt visu uz pasaules, gan standarta, gan pašizdomātās mērvienībās.

Ceturtā nodaļa ir veltīta konusa šķēlumiem – elipsei, parabolai un hiperbolai. No sākuma tiek aplikta sistēma, kuras centrā atrodas Zeme un lēnām ilustrēta pāreja uz heliocentrisko. Pie reizes arī tiek parādīts, kā, ja nav slinkums un ir labs dators, var izdomāt jebkuru debīlu sistēmu, kas vien ienāk prātā, galvenais ir liels korekciju apjoms, un tad arī viss izskatīsies vislabākajā kārtība, lai ar neatbildīs realitātei. Vēl ir daudz par augstceltnēm un komētu orbītām.

Piektā nodaļa ir par skaitli pi, un kādēļ tas nav īsti korekts, jo smukāk būtu divi pi, bet tam vairs nav cerības izsist iesīkstējušo matemātisko notāciju. Daudz cikloīdu un Furjē analīzes pamati iesācējam. Ja hobijs ir domāt par velosipēdu un vilcienu riteņiem, tad dikti aizraujoša lasāmviela.

Sestā nodaļa ir veltīta Eilera skaitlim – e. Tas ir ielīdis praktiski jebkurā vienādojumā, kur runa ir par bezgalībām. Ja redzi kādu dabas fenomenu, tad vari būt drošs – e arī ir tepat blakus un dara savu melno darbu no baku procentu aprēķināšanas līdz superizturīgu arku projektēšanai.

Septītā nodaļa pilnībā mēģina uz pirkstiem izskaidrot imagināros skaitļu, runa ir par mīnus āboliem un ķermeņu rotācijai komplekso skaitļu telpā. Tas viss ir saistīts ar trigonometriju, un beigu beigās sanāk diezgan smuka kopaina. Var jau teikt, ka dabā kvadrātsaknei no mīnus viens nav nekādas jēgas, bet dabai uz to ir uzspļaut, un tā to pielieto riņķī apkārt gan tiešā, gan pārnestā nozīmē.

Astotā nodaļa stāsta par vareno Ņūtona un Lebnica klopi, kuras rezultātā mēģināja noskaidrot diferenciālrēķinu izgudrotāja titulu. Ņūtons izgudroja un noslēpa atvilktnē, Leibnics savukārt publiskoja. Rūgtums abiem palika, bet mums, parastiem cilvēkiem, fizika kļuva daudz aizraujošāka, un matemātikas kurss – pāris reizes garāks. Daudz smuku piemēru par bezgalīgi daudz bezgalīgi mazu lielumu skaitīšanu, atvasināšanu un integrēšanu.

Devītā nodaļa ir veltīta matemātikas teorēmu pierādījumiem. Tā lieta mūsdienās vairs nemaz nav tik vienkārša kā Eiklīda laikos. Ja kāds publicē pierādījumu šauri specializētā matemātikas nozarē uz divsimts lapaspusēm, tad nav nemaz tik daudz cilvēku, kas to spētu pārbaudīt. Savukārt, ja pierādījumu publicē dators uz pārtūkstots lapaspusēm, tad var “žāvēt airus” – tur būs nepieciešams vesels profesora darba mūžs, lai to pārbaudītu.

Desmitā nodaļa ir celluāro automātu pasaule. Pēc būtības tiek aprakstīta vecā labā spēle life. Kurš programmētājs – iesācējs nav ar to niekojies! Taču izrādās šis pasākums vēl nav miris, ir pietiekoši daudz cilvēku, kas ne tikai ar aizrautību skatās rūtiņu miršanā, ir tādi, kas, balstoties uz šīs vienkāršās spēles likumiem, uzbūvējuši pat reālus virtuālos datoru stimulatorus.

Grāmatai lieku 10 no 10 ballēm, autors par katru no tematiem ir izracis kaut ko interesantu, vēl nedzirdētu. Sarežģītās lietas viņš joprojām spēj izskaidrot vienkāršā valodā, un pēc pāris lapaspusēm lasītājs ir ieguvis visu nepieciešamo bagāžu, lai saprastu integrāļus. Ja matemātika un tās vēsture patīk, noteikti iesaku izlasīt. Nez cik daudz no mums bērnībā lasot Alises Piedzīvojumi Brīnumzemē nodaļu Dullais Pēcpusdienas Tējas Laiks saprata, ka te patiesībā slēpjas smalka ironija par tā laika jaunievedumiem imaginārajiem skaitļiem un manipulācijām ar tiem koordinātu telpā?

Alex’s Adventures in Numberland by Alex Bellos

Numberland

Nu diezgan sen nekas nebija lasīts par matemātiku. Šī grāmata manā plauktā nostāvēja vien pāris mēnešus, un vairākas reizes jau gandrīz nokļuva „ko lasīt?” nākamo saraksta augšgalā.

Šis nu ir kārtējais autors, kas uzskata, ka parastai tautai ir jāzina šis tas vairāk par matemātiku nekā parasta atņemšana un dalīšana. Lieki piebilst, ka viņam nebūt ne vienīgajam ir ienācis prātā, ka matemātika var būt visai interesants temats grāmatas uzrakstīšanaI. Tādēļ iesākumā bija aizdomas, ka grāmata atgremos jau novazātos matemātiskos kuriozus un jokus. Izstāstīs mums n-to reizi par Gausa dzīvi, par to kā Paskāls aizgāja par mūku, un kā Kardano neparko negribēja izpaust kubiskā vienādojuma atrisināšanas noslēpumu. Nenoliegšu, tas viss te tiek pieminēts, tomēr grāmata bija daudz interesantāka nekā biju domājis. Nekad nebiju iedomājies, ka ēģiptiešu teksta uzdevumi mūsdienu cilvēka prātam varētu likties nesaprotami.

Izlasot šo grāmatu, es uzzināju, kā, iespējams, domā to tautu pārstāvji, kas prot skaitīt tikai līdz pieci, kā nāciju spējas matemātikā ir atkarīgas no tā, kā skaitļi tiek izrunāti viņu valodā, kā kādreiz vīri varēja piešmaukt ruleti ar kabatas datoru, kāpēc cilvēks nespēj saprast gadījuma notikumus, kas tad īsti slēpjas zem gausa līknes un kādēļ to izmanto vietā un nevietā, ir intervija ar cilvēku, kas izgudrojis sudoku, kā pareizi salikt Rubika kubu, kā attēlot hiperplakni ar tamborējumiem, kas īsti nav kārtībā ar Eiklīda pamatpostulātiem, kā pareizi locīt origami, ko pasākt ar logaritmiem, kas ir krutāk galvā – reizināt lielus ciparus vai vilkt kubsaknes un pāris citas svarīgas matemātiskas lietas. Neteikšu, ka visas iepriekšminētās lietas man bija jaunumi, šis tas jau bija lasīts citur. Tomēr piekrītu Karaliskajai Biedrībai, šī, iespējams, ir vislabākā grāmata, kas veltīta matemātikai šogad. Lasās ļoti viegli, autoram ir talants neikdienišķas lietas pavēstīt vienkāršā un saistošā valodā.

Grāmatai lieku 10 no 10 ballēm, pat man cilvēkam, kas lasījis desmitiem šāda tipa grāmatas, tā vēl šķita pietiekoši saistoša, lai izlasītu vienā paņēmienā. Un tas, manuprāt, ir ļoti labs rādītājs. Tādēļ silti iesaku šo grāmatu izlasīt visiem, kurus kaut nedaudz interesē matemātika. Autoram ir arī labs blogs ar pāris matemātiskiem uzdevumiem, gandrīz kā mani intelektuālie jautājumi.

Fermat’s Last Theorem by Simon Singh

Fermat's Last Theorem

Sen nebiju lasījis nevienu grāmatu par matemātiku. Šo es nopirku kaut kad pērn Londonā. Nopirku un neizlasīju, kaut kā vienmēr neatlikās laika.

To, kas ir Fermā teorēma, manuprāt, zina katrs pirmklasnieks. Galvenā ideja ir, ka vienādojumam x^n+y^n=z^n pie jebkurām n vērtībām lielākām par divi un pieņemot, ka x, y un z ir veseli skaitļi nav atrisinājuma. Apgalvojums ir tik vienkāršs, ka taisni vai jābrīnās, ka tā pierādījuma atklāšana aizņēma vairākus gadsimtus. Fermā savulaik apgalvoja, ka ir atradis šai teorēmai atrisinājumu, kuru varētu uzrakstīt uz lapas malas, tomēr atstās katram pašam prieku to atklāt. Tā nu nabaga matemātiķi ilgu laiku to nespēja atrast. Līdz beidzot kāds jauneklis vārdā Andrew Wiles ķērās pie lietas un uz nepilnām divsimt lapaspusēm pierādījumu uzblieza. Ar pirmo reizi gan viss uzreiz nesanāca, atradās būtiska kļūdiņa un nācās daļu pārrakstīt pa jaunu.

Grāmata nav tik daudz kā pierādījuma iztirzājums, kas, manuprāt, ir saprotams tikai nopietniem matemātiķiem. Grāmata ir par matemātikas attīstību un vēsturi Fermā teorēmas kontekstā. Sākas viss ar Pitagoru un viņa apsēstību ar veseliem skaitļiem un perfekto pasauli un turpinās līdz Fermā teorēmas pierādīšanai. Grāmata neprasa nekādas nopietnās matemātiskās priekšzināšanas, autors mēģina visu informāciju iebarot lasītājam saprotamā veidā, smago daļu atstājot pielikumiem. Skaidra lieta, šajā grāmatā paša teorēmas pierādījuma nemaz nav.

Lai šo grāmatu lasītu, būtu vēlams, lai lasītājam būtu vismaz kāda interese par matemātiku. Uzrakstīts ir saistoši un interesanti. Tā kā tēma ir diezgan sarežģīta, tad autors ir diezgan pacenties, lai noreducētu visu līdz galvenajam. Kopumā grāmatai lieku 8 no 10 ballēm.

Starp citu, Fermā teorēmas pierādījuma meklēšana vēl nav beigusies. Daļa matemātiķu uzskata, ka ir jābūt kādam vienkāršākam veidam, kas ļautu šo teorēmu pierādīt daudz elegantākā veidā nevis pa apkārtceļiem. Daļa savukārt uzskata, ka Fermā pats ir kļūdījies, domādams, ka viņam ir izdevies atrast teorēmas pierādījumu.

Intelektuāls jautājums LXXXII jeb skaitļu vārdnīca

IMG_7329

Iedomāsimies, tu esi nolēmis izveidot vārdnīcu, kurā sarakstīti visi skaitļi no viens līdz desmit miljardiem. Kā jau vārdnīcai pienākas, tu skaitļus esi sakārtojis alfabētiskā secībā. Tagad jautājums, iesākumā vienkāršs, kāds skaitlis atrodams vārdnīcā pirmais? Otrs, nedaudz sarežģītāks, kurš būs pirmais nepāra skaitlis vārdnīcā? Trešais, ultra sarežģīts, kurš būs pirmais pirmskaitlis šajā vārdnīcā?

Papildinājums pēc martins komenta. Skaitļi vārdnīcā ir ierakstīti ar vārdiem 1 kā viens, 2 kā divi … 10 000 000 000 kā desmit miljardi.”

Zero: The Biography of a Dangerous Idea by Charles Seife

zero

Kā jau var noprast pēc nosaukuma, kārtējā grāmata par matemātiku. Šīs grāmatas centrālais temats ir nulle un tās jēdziens. Mūsdienās, kad nulle tiek lietota ikdienā un pamatskolas matemātikas grāmatās, varētu šķist nekas īpašs jau tā nulle nav. Nav arī īsti skaidrības, kādēļ Eiropā nulles konceptam ilgu laiku nebija atbalsta. Varbūt kādam matemātikā savulaik nebija īsti skaidrs, kādēļ nedrīkst dalīt ar nulli. Šī grāmata sniedz uz visu šo atbildes.

Autors sniedz pamatīgu vēsturisku ieskatu nulles koncepcijā. Cilvēkam, kas jau ir lasījis pāris grāmatas par matemātikas vēsturi , aptuveni puse no šīs grāmatas varētu likties atkārtojums. Cilvēkam, kurš par matemātikas vēsturi informēts minimāli, visa lasāmviela liksies saistoša. Sākums, kā jau šādām grāmatām ierasts, veltīts skaitīšanas un skaitļu vēsturei seno civilizāciju konceptā. Senās civilizācijas mierīgi iztika bez nekādas nulles, un matemātika pēc būtības bija tikai ģeometriska interpretācija. Nulles jēdzienu kā tādu ievazāja indieši, kuri šo ideju nodeva arābiem un tie savukārt aizveda to uz Eiropu. Amerikā maiju civilizācija savus kalendārus sāka ar nulles dienu, tā kā viņiem šī koncepcija nebūtu nekāds jaunums.

Eiropieši nullei spītējās pretī pavisam vienkārša iemesla dēļ. Tā kā savulaik kristietība savus pasaules redzējuma zinātnisko daļu bija aizņēmusies no Aristoteļa, tad bija skaidrs, ka nulles koncepcija te neies cauri, jo nekas no nekā nerodas, un dabā nav vietas tukšumam. Tagad mēs par vakuumu varams spriest jau pēc 5. klases īsā fizikas kursa, bet viduslaikos, par to varēja nākties uzklausīt apsūdzības ķecerībā.

Grāmatā netiek apskatīta tikai nulle vien, kā jau minēju – nulles kā tukšuma filozofijas aspekts, kalendāri, nulles vieta skaitļu rindā, nulle algebrā, ko var un ko nevar darīt ar nulli, nulles un bezgalības sasaiste Rīmaņa sfērā, Fizikas absolūtā nulle, Visuma siltumnāve, melnie caurumi, relativitātes teorija un citas eksotiskas lietas. Pa ceļam tiek apskatīta atvasināšana, integrēšana, zelta proporcija (golden ratio), imaginārie skaitļi.

Grāmata vietām likās nedaudz garlaicīga, vietām šķita, ka notiek novirzīšanās no grāmatā apskatāmā temata. Tomēr kopumā sniedz labu informāciju par matemātiku un matemātikas vēsturi, lieku 8 no 10 ballēm iesaku lasīt tiem, kurus matemātika interesē.

Intelektuāls jautājums LXIV jeb a kā to var dabūt?

numbers

Šoreiz jautājums pavisam vienkāršs. Nekādas laterārās domāšanas, nekādi viltīgi aprēķini. Ir funkcija teiksim f(x), kurā ievietojot skaitli iegūstam kaut kādu rezultātu. Tātad kāda ir šī funkcija kā matemātiska izteiksme, ja, ievietojot sekojošu skaitļus, iegūstam attiecīgu rezultātus: 3 -> 90; 4 -> 272; 5 -> 650; 6 -> 1332; 7 -> 2450.

PS. Funkcija ir visai vienkārša, logaritmi un integrāļi tajā nav, tāpat kā sinusi un kosinusi.

Intelektuāls jautājums LI jeb kaut kas pavisam vienkāršs

IMG_7238

Šoreiz no spēļu teorijas uzdevuma mēģināšu izvairīties un piedāvāšu pavisam vienkāršu uzdevumu. Tādu, kuru var atrisināt dators, ieloopojot pāris ciklus, vai, ja slinkums kodēt, ar rokām uz papīra.

Tad nu pats UZDEVUMS. Atrodiet četrciparu skaitli, kuram piemīt sekojoša īpašība – ABCD=A^B*C^D, kur ^ nozīmē pakāpi.

Intelektuāls jautājums XLVII jeb megadalāmie skaitļi

HDD

Šī uzdevuma atrisināšana nāks par labu ikvienam numerologam iesācējam, jo viņiem tādas lietas ir jāzina. Varbūt arī kādam skaitļu teorijas adeptam tas šķitīs vienkāršs. Pats gan nezinu nevienu atrisināšanas metodi, izņemot „brute force”.

Tad nu pats jautājums, kuram no skaitļiem, robežās no 1 līdz 100000, ir visvairāk dalāmo, ar kuriem tas dalās bez atlikuma? Piemēram, 6 dalās ar 2 un 3, 60 ar 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30.

Intelektuāls jautājums XLV jeb kubā

numbers

Pavisam eksistē četri naturālu skaitļi, kur sasummējot skaitļa sastādošo ciparu kubus iegūstam pašu skaitli.

Trīs no viņiem ir:

153=1+125+27
370=27+343+0
407=64+0+343

Kāds ir ceturtais skaitlis? Trīsciparu skaitlis nedrīkst sākties ar nulli.

%d bloggers like this: