Intelektuāls jautājums LVII jeb kā tikt galā ar gultņu lodītēm
Šoreiz uzdevums nav viegls un tā izrēķināšana galvā man šķiet ir visai nereāla. Ar papīra un zīmuļa palīdzību jau vienkāršāku. Gadījumos, ja esat mehāniķis, kuram pieejamas daudz gultņu lodītes vai spridzinātājs pašnāvnieks, vai vienkāršs cilvēks, kurš speciāli grautiņiem iekrājis gultņu lodītes, Jums uzdevuma atrisināšana būs triviāla.
Un tagad pats uzdevums. Iedomāsimies, ka mums ir kastīte ar sekojošiem izmēriem – 10x10x5 centimetri. Protams, ka kastītei visi leņķi ir taisni. Kāds ir maksimālais gultņu lodīšu skaits, kas satilpst šajā kastītē, ja gultņa lodītes diametrs ir 1 centimetrs.
Kastīte nedrīkst deformēties. Jums ir neierobežots daudzums gultņu lodīšu. Visas darbības ar kastīti un lodītēm notiek uz Zemes.
Comments
Nu logistiš ka 500 tas ir ja ir sriķens
Bet ja protams vēlies kaudzīti uzkrāmēt ar kaudzīti tad 810
Jāpiekrauj līdz malām bez kaudze, bet ielikt vairāk par 500 var mierīgi 🙂
man sanaak 600. bet iisti paarliecinaats par precizitaati neesmu. formulu kaa taadu neatradu un no wiki ko izdevaas izrakt to arii meegjinaaju pielietot.
600 salikt kastītē nevarēs pa daudz 🙂
tātad lodītes tilpums ir (4/3 pi * r^3), ja diametrs ir 1cm, tad sanāk pi/6 cm. teorētiski maksimālais skaitlis sanāks, ja izkausēsim lodītes un saliesim kastītē, sanāks 10*10*5/(pi/6) = 3000/pi = 954.929659 lodītes. bet tā kā mēs tās nekausēsim, tad jāreizina šis cipars ar pi/sqrt(18) = 0.74048049 (pēc http://en.wikipedia.org/wiki/Kepler_conjecture), tātad 954.929659*0.74048049=707.106781, tātad 707 lodītes. ja lodītes nekārtosim ar hexagonal close packing, tad randomā metot būs 954.929659*64%=611.154982 tb 611 lodītes.
ah, atsauce uz random packing ir šeit: http://physicsworld.com/cws/article/news/34416
kgan tur ir minēts 63.5%, es kkad sen tiku mācīts, ka tas ir 64%, bet nu lab, 954.929659*0.635 = 606.380333 jeb 606 lodītes 🙂
Ideja ir pareize, vienīgā problēma ka kastites ir taisnstūra, un lodītes diezgan lielas, kas savukārt nozīmē ka hexagonal close, jeb katra lodīte saskarās ar vēl 12 lodītēm pie kastes malām īsti nestrādās un pareizā atbilde būs ar nedaudz mazāku lodīšu skaitu 🙂
nu zīmēt un rēķināt tak nevienam negribas tik agri 🙂
Galējā atbilde 543 nu ja tā nav es iet kārties 🙂 Jo MS Paintā (1cm = 100point) pa pikseļiem zīmēju visu dienu un tur sanāk maza kaudzīte
1) ja pieņem 10cm platu 10cm garu un 5cm augstu kastīti tad sanāk ((10×10)x3)+ ((9×9)x3) = 543 (maza kaudze) vai arī mans pirmais uzskats 10x10x5 = 500
2) ja ņem 5cm platu 10cm garu un 10cm augstu tad sanāk ((5×10)x6)+ ((4×9)x5) = 480 (maza kaudze) vai 5x10x10 = 500
500 — http://fotki.lv/?x=OS5RKFxDRy06RDxIV1M5LlIoXERVQFhMUFM5LlUoXEdUQFFCUE1VUzkuVChcNiU0NTBHLTpDPEglMDI2&size=1
543 — http://fotki.lv/?x=OS5RKFxDRy06RDxIV1M5LlIoXERVQFhMUFM5LlUoXEdUQFFCUE1XUzkuVChcNiU0NTBHLTpDPEglMDI2&size=1
480 — http://fotki.lv/?x=OS5RKFxDRy06RDxIV1M5LlIoXERVQFhMUFM5LlUoXEdUQFFCUE1UUzkuVChcNiU0NTBHLTpDPEglMDI2&size=1
ja pieņem 10cm platu 10cm garu un 5cm augstu kastīti tad sanāk ((10×10)x3)+ ((9×9)x3) = 543 (maza kaudze) ((10×10)x3)+ ((9×9)x2) = 462 (bez kaudzītes) vai arī mans pirmais uzskats 10x10x5 = 500
ja ņem 5cm platu 10cm garu un 10cm augstu tad sanāk ((5×10)x6)+ ((4×9)x5) = 480 vai ((5×10)x6)+ ((4×9)x6) = 516 (maza kaudze) vai 5x10x10 = 500
543 bumbas tur varēt mierīgi nekraujot iebērt iekšā nedaudz sakratīt un nebūtu nekādas kaudzes 🙂
Pareizā atbilde:
Noliekam kasti uz sāniem un saliekam pirmo kārtu 5-4-5-4-5-4-5-4-5-4-5 jeb 50 bumbas, malā pāri paliks 0.3 cm vieta;
Nākamais līmenis 4-5-4-5-4-5-4-5-4-5-4 jeb 49 bumbas, pēdējai 4rinieku rindai sanāk pārkare ~0.28 centimetri bet mums ir rezerve 0.3 cm tā kā viss rullē;
Šādā vidā kasē varam iepakot 12 līmeņus 50*6+49*6 = 300 + 294 = 594 bumbas.
Lai ļaudis nedomātu ka gvelžu niekus piedāvāju savus MS Paintā (ļoti spēcīgs tūlis gultņu lodīšu trūkuma apstākļos) veidotu problēmas atrisinājumus.
Līmeņus klājam sekojoši:
Un atceramies, ka starp starp četrām tetraedrā sakārtotām lodītēm, pirmā un otrā līmeņa lodīšu centru atālums vertikālā plaknē ir 0.816 cm, kas tad mums ļauj salikt 10 cm 12 līmeņus 11*0.816 +0.5+0.5= ~9.98 cm.
Ja nevar saskatīt, klikojam uz bildes.
tātad šis uzdevums bij vairāk ar praksi nevis teoriju saistīts 🙂
Patiesībā MS Paint pielietošana stereometrijas uzdevumu risināšanā 😀