Pēdējā laikā man diezgan pavāji sanāk ar intelektuālo jautājumu izdomāšanu vai atrašanu. Patlaban mani galvenokārt nodarbina uzdevumi, kas saistīti ar ūdens sajaukšanu, lai rezultātā iegūtu noteiktu bērna vannošanai nepieciešamu temperatūru.
Bet nu uzdevums. Katrs no mums zina veco joku, ka nevienu lapu nevar salocīt uz pusēm vairāk kā septiņas reizes. Bet apskatīsim problēmu no cita redzes punkta. Iedomāsimies, ka mums ir A4 formāta lapa. Mums ir iespēja viņu „atlocīt vaļā” (dubultot izmērā) un iegūt A3 lapu, to savukārt varam „atlocīt” uz A2 un tā līdz bezgalībai. Cik atlocīšanas būs nepieciešamas, lai iegūtā lapa noklātu platību ekvivalentu Latvijas teritorijas platībai, Saules sistēmai, Piena ceļa galaktikai, redzamajam visumam?
Šo jautājumu es izdomāju pats, lasot šo grāmatiņu. Tie, kas bērnībā ir veltījuši nedaudz laika pasaku lasīšanā, zina, ka septiņjūdžu zābaki ir tādi zābaki, kas to valkātājiem dod iespēju sperot vienu soli veikt veselas septiņās jūdzes. Lietderības koeficients šādai uzpariktei ir ļoti augsts, bet tas šoreiz mums nav jāaprēķina. Vienīgais mīnuss ir zābaka solis, precīzi septiņas jūdzes. Tagad pats jautājums:
Iedomāsimies, ka Tev ir septiņjūdžu zābaki un Tu esi nolēmis aizdoties uz pilsētu A. Tomēr sperot soļus un novērojot apkārtni Tu nonāc pie secinājuma, ka pēdējais solis Tevi ir panesis pilsētai A garām un tagad Tu no šīs pilsētas atrodies divu jūdžu attālumā. Kāds ir minimālais soļu skaits, kas jāsper, lai nonāktu un apstātos pilsētā A? Vienkāršības labad pieņemam, ka visas pārvietošanās notiek plaknē, zābaka un pilsētas lielums ir reprezentējams ar punktu.
Šis uzdevums būs pavisam vienkāršs. Paskatāmies uz bildi augšā un izdarām sekojošus novērojumus. Iesākumā uz riņķa līnijas atliekam vienu punktu. Apļa laukums paliek nedalīts – vienā gabalā. Tad atliekam uz riņķa līnijas otru punktu (tā lai tas nesakristu ar pirmo) un novelkam starp abiem punktiem līniju. Apļa laukums mums sadalās divās daļās (tālāk sektori). Tad atliekam uz riņķa līnijas trešo punktu un atkal savienojam visus punktus ar līnijām. Apļa laukums mums sadalās četros sektoros. Atliekam uz riņķa līnijas ceturto punktu savienojam to ar citiem punktiem. Apļa laukums mums sadalās astoņos sektoros. Tagad jautājums – cik sektoros sadalīsies aplis, ja uz riņķa līnijas atliksim piecus punktus? Un ja sešus?
Šoreiz kaut kas pavisam savādāks. Kas kopīgs šiem diviem teksta gabaliņiem?
Pirmais teksta gabaliņš:
Que j’aime à faire apprendre
Un nombre utile aux sages!
Glorieux Archimède, artiste ingénieux,
Toi, de qui Syracuse loue encore le mérite!
Otrais teksta gabaliņš:
Poe, E.
Near a Raven
Midnights so dreary, tired and weary.
Silently pondering volumes extolling all by-now obsolete lore.
During my rather long nap – the weirdest tap!
An ominous vibrating sound disturbing my chamber’s antedoor.
“This”, I whispered quietly, “I ignore”.
Šis nu vienreiz būs jautājums rēķinātājiem. Palindroms ir tāda ciparu vai/un burtu virkne, kas no abiem galiem lasās vienādi. Piemēram, aka, 10001 un 666 ir palindromi. Savukārt, mopēds, 1235 un sula nav palindromi.
Jautājums sekojošs, kāds ir minimālais skaitlis, kuram pašam neesot palindromam, tā kubs ir palindroms? Piemēram , 11 kubā ir 1331, bet atbilde neder, jo 11 pats ir palindroms.
Tagad atbildes uz iepriekšējiem jautājumiem. Tā kā biju izbraucis uz ārvalstīm – apmeklēju Krievzemi un Šveici, tad atbildes sniedzu tikai tagad.
Ņuņņas un Ģīgas uzdevumā, pareizā atbilde ir puse no planētas ir kontinents puse ezers, tā kā sala un kontinents ir viens un tas pats.
Sudoku uzdevumā, nekādas aukstākās matemātikas nebija, varianti wikipēdijā, lapas nejaukt ar lapaspusēm un vienkārši rēķinām.
Šis nu būs pavisam vienkāršs uzdevums no varbūtību teorijas.
Iedomāsimies, ka Tu esi uzrakstījis 6 vēstules dažādiem adresātiem. Vēl Tu esi uzrakstījis adresātu adreses uz aploksnēm. Vēstuļu nosūtīšanu Tu uztici kādam no saviem radiniekiem. Tas paņem, saliek vēstules aploksnēs neskatoties adresātu (uz dullo, kura vēstule gadās pa rokai, to arī ievieto aploksnē), katrā aploksnē tiek ievietota tikai viena vēstule. Tagad jautājums, kāda ir varbūtība, ka tieši un tikai piecas vēstules ir ievietotas pareizajās aploksnēs?
Kārtējais laterālo domāšanu stimulējošais uzdevums, nekā sarežģīta, bet interesanti.
Iedomājamies planētu T40. Uz planētas dzīvo tikai divas saprātīgas būtnes Ņuņņa un Ģīga. Būtne Ņuņņa dzīvo uz liela kontinenta, kura vidusdaļā atrodas milzīgs ezers. Ģīga dzīvo uz salas, kas atrodas iepriekšminētā ezera pašā vidū. Ņuņņa un Ģīga neprot peldēt, lidot un teleportēties, viņu vienīgais pārvietošanās līdzeklis ir iet ar kājām pa sauszemi. Bet neskatoties uz visu to, Ģīga katru rītu brokasto pie Ņuņņas. Kā tas ir iespējams?
PS.
„Ar kājām pa sauszemi” – izslēdz laivas, lidmašīnas un visu citu, izņemot iešanu. Ezerā ir ūdens. Planētai ir gravitācija. Ģīga nevar elpot zem ūdens, viņai nav skafandra un akvalanga, arī elpu viņš tik ilgi nevar aizturēt. Uz salu tilts neved. Ezeram pāri pārlekt nevar ne Ņuņņa, ne Ģīga. Ģīga katru vakaru nakšņo savā mājā uz salas. Ne Ņuņņa ne Ģīga nevar izdzert visu ezeru. Ūdenī nav tik daudz sāls, ka negrimst nost. Arī paisumi un bēgumi nav tik stipri, lai izveidotu sauszemes tiltu. Ezers nekad neaizsalst. Ezerā nav tuneļa. Arī gājputni saprātīgas būtnes nepārnēsā un zivis viņas nenorij un uz muguras neļauj vizināties. Ne Ņuņņa ne Ģīga tiltus, dambjus un citas inženiertehniskas būves nebūvē. Ezers nav pārpurvojies. Arī krokodilu, begemotu un citu dzīvnieku tilts neeksistē. Ne Ņuņņa, ne Ģīga nevar pārstiepties ezeram pāri.
Šoreiz gan iesākšu ar atbildi par iepriekšējās nedēļas intelektuālajam jautājumam. Gandrīz visi kā viens apgalvoja, ka kosmiskajam mopēdam nav izredžu jebkad sasniegt sava visuma malu. Diemžēl pierādījumi, ka tas tā ir, netika sniegti. Tagad piedāvāšu risinājumu:
Pirmajā gadā mopēds nobrauc 1/1000 daļu no attāluma, otrajā gadā 1/2000 daļu, trešajā gadā 1/3000 un n-tajā gadā 1/1000*n.
Tagad izdarām nelielu viltību un pārveidojam izteiksmi 1/1000(1+1/2+1/3+…+1/n). Jau no pamatskolas laikiem visi zinām, ka rindas (1+1/2+1/3+…+1/n) (turpmāk Hn) summa teorētiski var būt jebkāda, galvenais, lai n ir pietiekami liels. Mūsu gadījumā 1/1000*(Hn), lai mopēds tiktu līdz visuma malai Hn ir jābūt lielākam par 1000.
Tagad izmantojam Hn aptuveni vienāds ar log n + γ, kur γ ir Eilera konstante aptuveni 0.5772156649. Tātad n > e^(1000- γ) un nepieciešamais gadu skaits, lai mopēds sasniegtu visuma malu ir e^(999.423) jeb cilvēku skaitļos 10^434 gadi.
Bet nu šīs nedēļas jautājums. Kādam zemniekam Jēpim pieder zemes pleķītis, kas pēc savas formas ir vienādmalu trīsstūris ar malas garumu 100 metri. Jēpim ir arī teliņš Raibītis, kas ir galvenais uz zemes pleķīša augošās zāles patērētājs. Jēpim ir arī nelāgs ieradums pavasarī dedzināt kūlu. Viņš uzskata, ka īsts kūlas dedzinātājs dedzina tikai neganītus laukus, un ir atvēlējis šim pasākumam tieši pusi no savas zemes pleķa platības. Otra puse no platības tiek izmantota teliņa Raibīša ganīšanai.
Zemnieks Jēpis ganību periodā nevēlas nodarboties ar tādiem niekiem kā teļa pārsiešana. Viņš uzskata, ka tas ir pietiekami izvest teļu ganos reizi ganos, iedzīt mietu lauka stūrī, un ļaut tam ganīties visu sezonu.
Jautājums cik garai ir jābūt ķēdei, ar kuru piesiets teliņš Raibītis, lai tiktu noganīta precīzi puse no lauka platības? Matemātikas un Ģeometrijas labad pieņemam, ka teliņa Raibīša izmēri ir nulle, ķēde bezgalīgi tieva un visādi mezgli un mieti ir ignorējami.
Tā kā pēdējā laikā esmu lasījis daudz par kvantiem un astrofiziku, tad arī jautājums ir par šo tēmu.
Tātad iedomājamies sfērisku Visumu, kura rādiuss ir 1000 gaismas gadi. Visuma centrā stāv kosmiskais mopēds „Rīga-5”. Kosmiskā mopēda kosmiskais ātrums ir 1 gaismas gads gadā. Vienkāršs jautājums būtu – pēc cik ilga laika mopēds sasniegs Visuma malu, braucot pa Visuma rādiusu? Skaidra lieta, atbilde būtu pēc 1000 gadiem. Tāpēc ieviešam papildus nosacījumu, katra gada beigās Visums momentāni izplešas, tā rādiuss palielinās par 1000 gaismas gadiem. Tā kā mēs zinām, ka telpa izplešas pati sevī, tad jau nobrauktais attālums arī izplešas proporcionāli. Lai visi nosacījumi būtu skaidri, nedaudz ilustrēšu piemēru:
Pirmā gada beigas – mopēds nobraucis 1 gaismas gadu atlikuši vēl 999. Visums gada beigās izplešas, no centra mopēdu šķir 2 gaismas gadi, atlikuši vēl 1998 gaismas gadi ceļā.
Otrā gada beigas – mopēds no centra jau 3 gaismas gadus atlikuši vēl 1997. Visums gada beigās izplešas, no centra mopēdu šķir jau 4.5 gaismas gadi (3*1.5) un atlicis veikt tikai 2995.4 gaismas gadus.
Jautājums: vai mopēds jebkad sasniegs visuma malu? Ja jā, tad cik ilgi viņam būs jābrauc?
