Zero: The Biography of a Dangerous Idea by Charles Seife

Kā jau var noprast pēc nosaukuma, kārtējā grāmata par matemātiku. Šīs grāmatas centrālais temats ir nulle un tās jēdziens. Mūsdienās, kad nulle tiek lietota ikdienā un pamatskolas matemātikas grāmatās, varētu šķist nekas īpašs jau tā nulle nav. Nav arī īsti skaidrības, kādēļ Eiropā nulles konceptam ilgu laiku nebija atbalsta. Varbūt kādam matemātikā savulaik nebija īsti skaidrs, kādēļ nedrīkst dalīt ar nulli. Šī grāmata sniedz uz visu šo atbildes.

Autors sniedz pamatīgu vēsturisku ieskatu nulles koncepcijā. Cilvēkam, kas jau ir lasījis pāris grāmatas par matemātikas vēsturi , aptuveni puse no šīs grāmatas varētu likties atkārtojums. Cilvēkam, kurš par matemātikas vēsturi informēts minimāli, visa lasāmviela liksies saistoša. Sākums, kā jau šādām grāmatām ierasts, veltīts skaitīšanas un skaitļu vēsturei seno civilizāciju konceptā. Senās civilizācijas mierīgi iztika bez nekādas nulles, un matemātika pēc būtības bija tikai ģeometriska interpretācija. Nulles jēdzienu kā tādu ievazāja indieši, kuri šo ideju nodeva arābiem un tie savukārt aizveda to uz Eiropu. Amerikā maiju civilizācija savus kalendārus sāka ar nulles dienu, tā kā viņiem šī koncepcija nebūtu nekāds jaunums.

Eiropieši nullei spītējās pretī pavisam vienkārša iemesla dēļ. Tā kā savulaik kristietība savus pasaules redzējuma zinātnisko daļu bija aizņēmusies no Aristoteļa, tad bija skaidrs, ka nulles koncepcija te neies cauri, jo nekas no nekā nerodas, un dabā nav vietas tukšumam. Tagad mēs par vakuumu varams spriest jau pēc 5. klases īsā fizikas kursa, bet viduslaikos, par to varēja nākties uzklausīt apsūdzības ķecerībā.

Grāmatā netiek apskatīta tikai nulle vien, kā jau minēju – nulles kā tukšuma filozofijas aspekts, kalendāri, nulles vieta skaitļu rindā, nulle algebrā, ko var un ko nevar darīt ar nulli, nulles un bezgalības sasaiste Rīmaņa sfērā, Fizikas absolūtā nulle, Visuma siltumnāve, melnie caurumi, relativitātes teorija un citas eksotiskas lietas. Pa ceļam tiek apskatīta atvasināšana, integrēšana, zelta proporcija (golden ratio), imaginārie skaitļi.

Grāmata vietām likās nedaudz garlaicīga, vietām šķita, ka notiek novirzīšanās no grāmatā apskatāmā temata. Tomēr kopumā sniedz labu informāciju par matemātiku un matemātikas vēsturi, lieku 8 no 10 ballēm iesaku lasīt tiem, kurus matemātika interesē.

Intelektuāls jautājums LXXII jeb palindromu medības

Šis nu vienreiz būs jautājums rēķinātājiem. Palindroms ir tāda ciparu vai/un burtu virkne, kas no abiem galiem lasās vienādi. Piemēram, aka, 10001 un 666 ir palindromi. Savukārt, mopēds, 1235 un sula nav palindromi.

Jautājums sekojošs, kāds ir minimālais skaitlis, kuram pašam neesot palindromam, tā kubs ir palindroms? Piemēram , 11 kubā ir 1331, bet atbilde neder, jo 11 pats ir palindroms.

Tagad atbildes uz iepriekšējiem jautājumiem. Tā kā biju izbraucis uz ārvalstīm – apmeklēju Krievzemi un Šveici, tad atbildes sniedzu tikai tagad.

Ņuņņas un Ģīgas uzdevumā, pareizā atbilde ir puse no planētas ir kontinents puse ezers, tā kā sala un kontinents ir viens un tas pats.

Sudoku uzdevumā, nekādas aukstākās matemātikas nebija, varianti wikipēdijā, lapas nejaukt ar lapaspusēm un vienkārši rēķinām.

Intelektuāls jautājums LXVIII jeb ganām teļu un dedzinām kūlu

Šoreiz gan iesākšu ar atbildi par iepriekšējās nedēļas intelektuālajam jautājumam. Gandrīz visi kā viens apgalvoja, ka kosmiskajam mopēdam nav izredžu jebkad sasniegt sava visuma malu. Diemžēl pierādījumi, ka tas tā ir, netika sniegti. Tagad piedāvāšu risinājumu:

Pirmajā gadā mopēds nobrauc 1/1000 daļu no attāluma, otrajā gadā 1/2000 daļu, trešajā gadā 1/3000 un n-tajā gadā 1/1000*n.

Tagad izdarām nelielu viltību un pārveidojam izteiksmi 1/1000(1+1/2+1/3+…+1/n). Jau no pamatskolas laikiem visi zinām, ka rindas (1+1/2+1/3+…+1/n) (turpmāk Hn) summa teorētiski var būt jebkāda, galvenais, lai n ir pietiekami liels. Mūsu gadījumā 1/1000*(Hn), lai mopēds tiktu līdz visuma malai Hn ir jābūt lielākam par 1000.

Tagad izmantojam Hn aptuveni vienāds ar log n + γ, kur γ ir Eilera konstante aptuveni 0.5772156649. Tātad n > e^(1000- γ) un nepieciešamais gadu skaits, lai mopēds sasniegtu visuma malu ir e^(999.423) jeb cilvēku skaitļos 10^434 gadi.

Bet nu šīs nedēļas jautājums. Kādam zemniekam Jēpim pieder zemes pleķītis, kas pēc savas formas ir vienādmalu trīsstūris ar malas garumu 100 metri. Jēpim ir arī teliņš Raibītis, kas ir galvenais uz zemes pleķīša augošās zāles patērētājs. Jēpim ir arī nelāgs ieradums pavasarī dedzināt kūlu. Viņš uzskata, ka īsts kūlas dedzinātājs dedzina tikai neganītus laukus, un ir atvēlējis šim pasākumam tieši pusi no savas zemes pleķa platības. Otra puse no platības tiek izmantota teliņa Raibīša ganīšanai.

Zemnieks Jēpis ganību periodā nevēlas nodarboties ar tādiem niekiem kā teļa pārsiešana. Viņš uzskata, ka tas ir pietiekami izvest teļu ganos reizi ganos, iedzīt mietu lauka stūrī, un ļaut tam ganīties visu sezonu.

Jautājums cik garai ir jābūt ķēdei, ar kuru piesiets teliņš Raibītis, lai tiktu noganīta precīzi puse no lauka platības? Matemātikas un Ģeometrijas labad pieņemam, ka teliņa Raibīša izmēri ir nulle, ķēde bezgalīgi tieva un visādi mezgli un mieti ir ignorējami.

Intelektuāls jautājums LVI jeb kādēļ neviens negrib kļūt miljonārs un nenovēl to arī saviem pēcnācējiem

Visi, kas ir interesējušies par finanšu matemātiku, zina interesantu lietu. Ja tu, cilvēks, noguldi, teiksim, 1000 latus uz 6% gadā, tad pēc 120 gadiem bankā jau ir uzkrājies miljons. Tātad, ja tavs vecvecvecvecvecvecāks būtu bijis prātīgs cilvēks, tad Tu jau būtu miljonārs šodien. Pat viens lats jau pēc 239 gadiem būtu miljons, un kas tad šodien ir viens lats?

Tātad jautājums, kādēļ neviens tā nedara (vismaz ne ko par šādiem cilvēkiem neesmu dzirdējis)? Pieņemsim, ka banku komisijas ir nulle latu.

Intelektuāls jautājums LIV jeb problēma ar gadiem

Šis kārtējo reizi būs elementārās matemātikas uzdevums, kas atrisināms atrisinot vienādojumu sistēmu.

Kādai ģimenītei ir problēmas ar bērnu vecuma noteikšanu (varbūt pie vainas alkohols?), par bērnu vecumu viņi atceras tikai sekojošas lietas:

Viņiem ir trīs bērni;

Kad piedzima jaunākais bērns, tad vecākā bērna gadu skaits bija vienāds ar vidējā bērna gadu skaits reizināts ar trīs;

Deviņus gadus atpakaļ , vecākā bērna gadu skaits bija vienāds ar vidējā bērna un jaunākā bērna gadu summu.

Minimums cik gadu ir vecākajam bērnam?

Intelektuāls jautājums XLII jeb dalām godīgi diskrētus lielumus

Ir vecais joks, ka kārtīgā policijas skolā māca tikai atņemt un dalīt. Atņemšana šoreiz tieši netiks iejaukta, bet dalīšana gan.

Šis uzdevums paredz atrast perfektu dalījumu skaitļu kopai, tas nozīmē, ka skaitļu kopa tiek sadalīta divās grupās, kur abu grupu summa ir vienādas. Piemēram, kopa {2 10 3 8 5 7 9 5 3 2} perfekti sadalās šādās apakšgrupās {2 5 3 10 7} {2 5 3 9 8}, viegli izrēķināt ka abu grupu summa ir 27 un 27, kas arī ir perfektais dalījums. Patiesībā viens no 23 iespējamiem. Tomēr neapgrūtināšu jūs ar tik elementāru uzdevumu.

Sadaliet perfekti šādu skaitļu kopu {771 121 281 854 885 734 486 1003 83 62}. Protams ja vien tas ir iespējams.

Group Theory in the Bedroom, and Other Mathematical Diversions by Brian Hayes

Uz reiz vēlos pateikt, ka grāmatā nav neviena vārda par grupveida seksu guļamistabā. Autors šajā grāmatā ir apkopojis esejas par matemātikas tēmu. Šīs esejas savulaik tikušas publicētas „American Scientist” rubrikā Computing Science.

Tā kā visas esejas ir savstarpēji nesaistītas, tad visa grāmata uzreiz nemaz nav obligāti jālasa. Tā darīju arī es, katru vakaru izlasīju vienu vai divas esejas. Eseju saturs ir visdažādākais, sākot no veciem pulksteņiem un beidzot ar matrača grozīšanu. Visas vieno tas, ka ikdienišķām lietām tiek parādīta to pamatā esošā matemātika. Pasniegšanas veids – vienkāršā valodā tiek pasniegtas sarežģītas lietas. Gadījumā, ja tomēr neko neesi sapratis, vismaz uzzini pāris interesantus faktus.

Man personīgi visinteresantākās likās nodaļas, kas apskatīja jautājumus: Vai vispār ir iespējams gadījuma skaitļu ģenerators? Ģenētiskā koda informācijas kodēšanas metodes? Kāda skaitīšanas sistēma labākā binārā vai ternārā? Kas ir vienādība?

Bez visā tā, ka uzzināju daudzus un dažādus faktus un dažus jaunus procesu izskaidrojumus, uzzināju arī uz kā bāzēta teorija, ka pasaulē eksistē tikai viens vienīgs elektrons. Tas gan bija netieši pieminēts, bet šis jautājums mani nomocīja labu laiku.

Grāmatai viennozīmīgi dodu 10 no 10 ballēm, sakarīgs, saturīgs izklāsts un ir lasāms pat nespeciālistam. Ja ne cits ieguvums, tad vismaz varēsi paspīdēt, ka kuba formas matraci var pagriezt 25’852’016’738’884’976’640’000 veidos un e^(π*SQRT(167)) nav vis 262’537’412’440’768’744, bet gan 262’537’412’440’768’743.999999999999250.

Grāmatas mājas lapa.

Journey through Genius: The Great Theorems of Mathematics by William Dunham

Šī grāmata nav par to, kā kļūt par ģēniju 30 dienu laikā, šī grāmata ir par cilvēka ģeniālākajām idejām matemātikas jomā. Arī grāmatas autoram matemātika nav sveša, strādā par matemātikas pasniedzēju.
Jābrīdina uzreiz, ja matemātika Tev nepatīk un nepadodas, tad grāmatas lasīšana var sagādāt grūtības. Katra nodaļa mums apraksta kādu no lielajām matemātikas teorēmām, iesākumā mums tiek dota vēsturiska un biogrāfiska informācija par matemātiķiem, tad mums tiek apstāstīts pietiekamais minimums konkrētajā problemātikā (ar visiem pierādījumiem), un tikai tad mums tiek parādīts kā pierādīt vienu no matemātikas Lielajām teorēmām. Nodaļas beigās nedaudz tiek aprakstīta konkrētās teorēmas ietekme uz matemātikas vēsturi.

Teorēmas, kuras autors ir izcēlis kā ‘lielās’ ir sekojošas:
Hippokrāts – pusmēness kvadratūra; Eiklīds – pierādījums Pitagora teorēmai; Eiklīds – pierādījums pirmskaitļu rindas bezgalībai; Hērona trijstūra laukuma aprēķināšanas formula; Cardano metode trešās pakāpes vienādojuma atrisināšanai; Ņūtona Binoma teorēma; Bernulli harmonisko sēriju diverģence; Eilera pi aprēķināšanas metode; Kantora teorēma.

Lasot grāmatu diezgan pamatīgi atkārtoju matemātiku un dažādas teorēmu pierādīšanas metodes. Jā, ikdienā man diez vai tas noderēs, bet cerams, ka nedaudz palīdzēs loģiskās domāšanas strukturēšanā. Šo grāmatu lasīju sev neraksturīgā veidā, katru vakaru vienu nodaļu un miers. Šī nav ātri lasāmā grāmata, te lietai ir jāpieiet nopietni, sevišķi, ja vēlies saprast, par ko īsti ir runa. Nelielīšos, ka sapratu visu, dažās lietās man bija slinkums iedziļināties un šad tad arī šo to noskipoju, lai ātrāk tiktu pie galvenā.

Papildus bonuss ir īss ieskats matemātiķu dzīvē, tas nedaudz palīdz atslogot smadzenes no izvedumiem, implikācijām un „acīm redzamām” sakarībām.

Grāmatai lieku 10 no 10 ballēm, kā matemātikas pamatlietu atspoguļotājai. Visu laiku mani nepameta doma – kā cilvēks līdz šādiem elegantiem problēmu pierādījumiem vispār aizdomāties!

Intelektuāls jautājums XXXVI jeb visiem patīk skriet

Tagad ir vasara un skriešana ir lieta, kas ir veselīga un ar kuru ilgstoši nodarbojoties, tev ir iespēja pat noskriet maratonu. Piemēram, šis cilvēks ir apņēmies.

Tad nu tiem, kas skrien vai arī neskrien, uzdevums par skriešanu.

Kāds skrējējs reiz bija apņēmies noskriet 26 kilometru sacīksti. Kāpēc 26 kilometrus? Tāpēc, ka tik liels bija salas garums uz kuras viņš dzīvoja. Tur katru gadu notiek šādas sacensības. Viņš sastādīja sekojošu treniņu plānu:

Viņš skries piecas dienas nedēļā;
Katru dienu viņš skries vienu kilometru vairāk nekā iepriekšējā dienā, izņemot katras nedēļas pirmo treniņu dienu, tad viņš skries tik pat daudz cik iepriekšējās nedēļas pēdējā dienā;
Līdz sacensībām vēl ir piecas nedēļas laika;
Pēdējie treniņa skrējieni viņam būs 26 un 27 kilometru gari.

Jautājums: Kāds ir gabals, kurš viņam jānoskrien pirmajā treniņa dienā?

PS. Bildē attēlotie nekur neskrien.

Intelektuāls jautājums XXXV jeb varžu dīķi

Uzdevums pavisam vienkāršs, lai to izpildītu pietiek ar algebru.

Tātad tev pieder septiņi varžu dīķi un ir seši strādnieki. Vardes migrē starp dīķiem viņām vien zināmu motīvu dēļ. Tādēļ tu katru rītu sūti savus strādniekus uz dīķie mardes pārskaitīt. Strādnieki ar intelektu neizceļas. Šamie ilgi savā starpā strīdējušies, nolēmuši, ka katrs skaitīs divus dīķus, lai nerastos negodsituācija, kur pieci skaita vienu dīķi, bet sestais divus.

Tad nu rezultāti ir sekojoši:

Dīķis 1 + Dīķis 2 = 57 vardes
Dīķis 2 + Dīķis 3 = 83 vardes
Dīķis 3 + Dīķis 4 = 71 varde
Dīķis 4 + Dīķis 5 = 43 vardes
Dīķis 5 + Dīķis 6 = 66 vardes
Dīķis 6 + Dīķis 7 = 43 vardes

Protams, ka abi dīķi ir saskaitīti kopā, neviens neatceras cik kurā īsti bija. Atceras tikai kopsummu.
Tu zini, ka pavisam kopā ir 200 vardes. Tad jautājums – Cik varžu ir katrā dīķī?

Navigate / search

… zivis kraulā nepeld …