Navigate / search

Nature’s Numbers: The Unreal Reality Of Mathematics by Ian Stewart

Šī nebūt nav pirmā I.Stewart grāmata ko lasu. Viņš piedalās Science of Diskworld kā līdzautors un nesen izlasīju arī viņa grāmatu “Why beauty is truth”, kura man likās nedaudz par sarežģītu. Te nu es atkal esmu iebraucis otrā grāvī – šī liekas pārāk vienkārša.

Grāmatas galvenā tēma varētu saukties matemātikas pielietojums ikdienā. Tas it kā varētu palīdzēt cilvēkiem saprast to, kur likt matemātikas stundās iegūtās zināšanas. Par piemēru kalpo dažādu dabas fenomenu izskaidrošana. Tas viss dod atbildes uz dažiem interesantiem jautājumiem. Kāda ir ūdens piliena pilēšanas dinamika no krāna, kādēļ ziedlapu skaits margrietiņai ir vienāds ar Fibonači rindas skaitli, kāpēc planētu orbītu attālums ir tieši tāds nevis citāds, kas ir haosa teorija?

Patiesībā jau puse no grāmatas ir veltīta atraktoriem un haosa teorijai, kas apraksta dinamiskas sistēmas uzvedību. Šī grāmata ir sarakstīta 1997. gadā, laikā, kad haosa teorija tikko bija ieguvusi popularitāti. Tomēr jāatzīst, ka viss ir ļoti, ļoti vienkāršots. Kā zināšanu nostiprinošs materiāls – labs. Kā materiāls, lai iegūtu sev jaunas atziņas un idejas, nekāds. Viss jau šķiet ir kaut kur dzirdēts vai lasīts.

Labākā autora atziņa, kas vijas cauri visai grāmatai ir nozaru specializācija, ja Ņūtona laikos izglītots cilvēks daudz maz orientējās visos zinātnes sasniegumos, tad mūsdienās tas vairs nav reāli. Labi ir piemēri par to, kā matemātiķu ziņkāre atklāj pavisam jaunas zinātnes jomas un, ka lielas naudas iegrūšana projektā vēl negarantē rezultātu. Grāmata gan bija ļoti īsiņa, nebija pat 200 lapaspuses, tāpēc izlasījās ļoti ātri.

Kopumā grāmatai lieku 7 no 10 ballēm, autorā vīlies neesmu, izskatās, ka labāko vidusceļu viņam ir izdevies sasniegt “Science of Diskworld” sērijā.

Why beauty is truth by Ian Stewart

Grāmata ir uzrakstīta ar mērķi izskaidrot nespeciālistam matemātiskās simetrijas konceptu un ilustrēt, kā šī matemātiskā simetrija rezultējas mūsdienu fizikālo procesu izpratnē.

Kā jau tas ierasts, sākas viss senajā Babilonā, kur cilvēki jau bija iemācījušies algoritmu, kas ļāva atrisināt kvadrātvienādojumus. Tad tiek veikts ieskats Eiklīda veikumā. Tālāk seko persiešu dzejnieks Omars, kas visu savu mūžu veltījis kubisko vienādojumu speciālgadījumiem. Tad nāk divi itālieši, kas abi uzskatīja, ka atraduši metodi, kā vispārināt kubiskā vienādojuma atrisinājumu Tartagila un Cardano. Tad sekoja Gauss, kurš arī daļu no sava laika veltījis algebriskajiem vienādojumiem. Tad parādās Galois ar savu grupu teoriju, tiek ieviesti arvien sarežģītāki jēdzienu, Fano plane, Lie grupas.

Un tā visa šo un vēl citu matemātiķi ķēdīte turpinās līdz mūsdienai. Balstoties uz viņu kopējo veikumu fiziķi veido dažādas superstīgu un M-teorijas, kuras, ja apskata nopietnāk, patiesībā satur to pašu simetriju, ko matemātika.

Lasot šo grāmatu sagaidīju tādu pašu aizraujošu stāstījumu, kā „Science of Diskworld” ciklā. Cik tālu tas attiecas uz dažādu matemātiķu biogrāfijām un interesantiem faktiem, tik tālu viss bija labi. Grāmata it kā ir sarakstīta cilvēkam, kas ar matemātiku nav īpaši lielos draugos, bet tomēr tā viņu interesēt.

Grāmatas sākuma nodaļās autors atvainojas lasītājam un formulas „sarežģītības” dēļ neraksta kubiskā vienādojuma atrisināšanas formulu. Tomēr pārdesmit lapas tālāk Galois teorijā sāk ieviest jaunus konceptus, nepaskaidrojot neko sīkāk, un man šķita, ka vienkāršojot, kaut kas būtisks tika piemirsts.

Pats skolā esmu mācījies augstāko matemātiku, cik nu tas ekonomistam nepieciešams un par dažām no šim lietām dzirdējis biju, bet praktiski saskarsme nekāda nebija bijusi. Tad atzīšos godīgi, man no autora stāstījuma daļa nepieleca un tāda lieta ar mani gadās reti. Domāju, laikam palieku vecs un internetā pameklēju vairāk par tēmām Galois grupas, Fano plane, Lie grupas un pāris stundas veltot mācībām, sāku iebraukt raidījumā, ar grāmatu vienu pašu ir nedaudz par īsu. Dažas lietas uz pirkstiem tomēr nevar izskaidrot.

Kopumā grāmata ir tāda nesabalansēta, vienkāršas lietas tiek pasniegtas kā sarežģītas un sarežģītas pārāk noreducētas. Lai vai kā tagad saprotu kāpēc ar lineālu un cirkuli nevar uzkonstruēt kvadrātu, kura laukums ir vienāds ar apļa kvadrātu, kādēļ ar šiem pašiem instrumentiem nevar sadalīt jebkuru leņķi trijās daļās un kāpēc piektās pakāpes vienādojuma atrisinājumu nevar izteikt kā sakni.

Kopā grāmatai lieku 7 no 10 ballēm, autoram viņu vajadzētu vismaz dubultot apjoma ziņā, lai saliktu iekšā visus tos gabalus, kas patlaban izlaisti. Ja tu neesi vismaz matemātikas profesors, tad šīs grāmatas lasīšana nebūs diez ko interesanta.

Intelektuāls jautājums XXXI jeb kautrīgais numismāts

Pavisam vienkāršs uzdevums, nedaudz jāparēķina.

Dzīvoja reiz viens kautrīgs numismāts, krāja zelta naudiņas – dažādus guldeņus, dālderus un dinārus. Kāds cilvēks vienu dienu jautā numismātam: “Cik zelta naudas gabalus esi sakrājis?”. Kautrīgais numismāts, negribēdams atbildēt tieši, sacīja: “Ja manu sakrāto naudas gabalu skaitu sadala divās nevienādās daļās, tad abu daļu starpības reizinājums ar 32 būs vienāds ar šo pašu daļu kvadrātu starpību”.

Cik naudas gabalu ir numismātam?

Intelektuāls jautājums XXX jeb vizināšanās

Šis būs pavisam vienkāršs jautājums, kas, domājams, viegli risināsies pēcjāņu piektdienā.

Tātad uzdevums sekojošs. Teiksim, starp diviem punktiem A un B (Talsi – Rīga) ir 100 kilometru attālums. Brauciens starp šiem punktiem tiek veikts ar automašīnu. Tad nu automašīna brauc pirmo kilometru ar ātrumu viens kilometrs stundā, otro ar diviem kilometriem stundā, … simto ar simts kilometri stundā. Cik ilgs laiks būs vajadzīgs, lai ar automašīnu veiktu visus simts kilometrus?

Intelektuāls jautājums XXII jeb četri devītnieki atbilde

Tātad atrisinājums ir pavisam vienkāršs, ja atkož sistēmu, man tas aizņēma 3 stundas. Ar 2 devītniekiem var izveidot sekojošus skaitļus:
9-9=0
9/9=1
√9-.(9)=2
9/√9=3
√9+.(9)=4
(√9)!-.(9)=5
√9+√9=6
(√9)!+.(9)=7
9-.(9)=8
√9*√9=9
9+.(9)=10

Tālāk:

9+.(9)=10 -/+ 10 aptver intevālu [0,20];
9*√9=27 -/+10 aptver intervālu [17,37];
(√9)!*(√9)!=36 -/+10 aptver intervālu [26,46];
9*(√9)!=54 -/+10 aptver intervālu [44,64];
9*9 -/+10=81 aptver intervālu [71,91];
99 -/+10 aptver intervālu [89,109];
((√9)!)!/(√9)=120 -/+10 aptver intervālu [110,130]
Redzam, ka pāri paliek 65, 66, 67, 68, 69, 70, 131 un132

Tā kā

(√9)!+(√9)!=12 tad 66, 69 un 132 atrisinājums ir triviāls;
((√9)!)!/9=80 tad 70 un 68 atrisinājums arī ir triviāls;
Atliek vairs tikai 65, 67 un 131 un šie ir tie grūtākie.
Patiesībā viņu atrašana man aizņēma 3 reizes vairāk laika nekā visu iepriekšējo kopā.

Tātad atrisinājums: Read more

Intelektuāls jautājums XXII jeb četri devītnieki

Šis būs pavisam viegls uzdevums – klasika. Vairāk gan laika kavēklis, toties to mierīgi var risināt galvā un nekādas programmēšanas prasmes nav jāpielieto.

Tātad doti četri devītnieki, izmantojot jebkuras matemātiskās darbības(+,-,*,/,!.. utt.), un izmantojot visus 4 devītniekus, izveidojiet matemātiskās izteiksmes, kuru iznākums ir skaitļi no 0 līdz 132.

Piemēri:

9-9+9-9=0
9/9-9+9=1
9/9+9/9=2
√9+(9-9)/9=3
√9+(√9*√9)/9=4
√9+(√9+√9)/√9=5
√9+√9-9+9=6
√9+√9+9/9=7
9-(√9*√9)/9=8

Kādas būtu pārējās izteiksmes?
Visgrūtākie ir posma 50-70 skaitļi. Papildus pieņēmums .(9)=1.

The Music of the Primes by Marcus Du Sautoy

Pilnais nosaukums: “The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics by Marcus Du Sautoy”

Kā jau pēc grāmatas vāka var redzēt, grāmatiņa ir par pirmskaitļiem un ja precīzāk tad par mēģinājumiem pierādīt Rīmaņa hipotēzi, kas latviski skan aptuveni šādi: “katras netriviālas nulles reālā daļa Rīmaņa zeta-funkcijā ir 1/2”. šī teorēma nodarbina matemātiķus jau vairāk kā simts gadus. Varētu domāt liela muiža, kam kaut kas tāds vispār ir vajadzīgs pierādīt un kādēļ par tādām lietām jāraksta grāmata.

Šai lietai izrādās ir praktisks pielietojums, pierādot šo hipotēzi mēs daudz ko uzzinātu par pirmskaitļu sadalījumu reālo skaitļu kopā, pierādītājs nopelnītu 1 000 000 USD un atvieglotu mūsdienu kriptogrāfijas atslēgu ģenerēšanu. Kā arī pa ceļam atrisinātu daudz un dažādas matemātikas problēmas.

Autors gan mēģina visu šo štelli vienkāršot un rakstīt saprotamā valodā pie reizes mēģinot iekļaut arī aprakstus par pašiem matemātiķiem Eileru, Gausu un Rīmani, interesanti, bet reizēm nedaudz saraustīti. Piemēram Gausa hobijs esot bijis pirmskaitļu meklēšana, kā viņš pats rakstījis: “šad tad ja rodas kādas 15 minūtes brīvā laika pārbaudu nākamo skaitļu tūkstoti, lai noskaidrotu tajā pirmskaitļus (tulkojums brīvs un citēts pēc manas atmiņas)”. Vīram smadzenēs laikam iebūvēts aritmometrs, pamēģiniet kāds 15 minūšu laikā atrast visus pirmskaitļus intervālā no 10 101 000 līdz 10 102 000 izmantojot zīmuli un papīru. Daļa grāmatas ir veltīta arī datoru nozīmei matemātisko hipotēžu pierādīšanai.

Kopumā grāmatai dodu 8 no 10 ballēm. Tā kā daudzi apgalvojumi ir pēc principa acīmredzami izriet, jo acīmredzami aprakstam vajadzētu 2 papildus sējumus, daudz kas jāpieņem kā ticams, lasās arī pagrūti saraustītības dēļ.

How to Cut a Cake: And Other Mathematical Conundrums by I.Stewart

Grāmata pēc būtības rakstīta cilvēkiem, kurus interesē matemātika. Lai gan arī lielam ciemos gājējam atradīsies pa vērtīgam padomam. Tam veltīta pirmā nodaļa un grāmatas nosaukums, kā sagriezt kūku tā , lai neviens nepaliktu apdalīts. Tad seko nodaļas saistītas ar varbūtību teoriju, grafiem, topoloģiskām problēmām. Problēmas tiek pasniegtas interesantā veidā un nekādas īpašās matemātiskās priekšzināšanas nav nepieciešamas.

Interesantākie fakti ko uzzināju:
Lauciņu Cietums Monopolā apmeklē divas reizes biežāk, kā jebkuru citu;
Metot gaisā kapeiku varbūtība, ka tiks uzmesti pēc kārtas 1 000 000 cipari ir 1.

Vai √2 ir irracionāls skaitlis …

Pierādījums:
Pieņemam, ka p un q ir veseli racionāli skaitļi, un izsakām √2 vienādojuma formā:

√2 = p/q

Kāpinām vienādojumu kvadrātā un iegūstam:

2 = p^2/q^2
2q^2 = p^2

Gan q, gan p var sadalīt pirmreizinātājos. p^2 sastāvēs no tiem pašiem pirmreizinātājiem kā p, tikai katrs būs divas reizes. Tātad p^2 būs pāra skaits pirmreizinātāju. Šis pats noteikums ir spēkā q^2. Un no tā izriet, ka 2q^2 ir nepāra skaits pirmreizinātāju. Un vienādojums 2q^2 = p^2 nav spēkā veseliem racionāliem skaitļiem. Un šī pretruna pierāda, ka √2 ir irracionāls.

Šito jau bija atkoduši senie grieķi.